몇 번의 6+1 개 뽑기를 시행해야 크탈 보물이 1개 이상은 나올까?(260615 최신화)
(2026.06.15 업데이트 내용 반영 최신화)
확률 공부하다가 화나서 이 글을 적습니다. 일단 세 줄 요약 먼저..
i) 6+1 세트 보물 뽑기를 1번 시행했을 경우, 크리스탈 보물이 최소 하나 이상 나올 확률은 약 8%다.
ii) 6+1 세트 보물 뽑기를 n번 시행했을 경우, 크리스탈 보물이 최소 하나 이상 나올 확률은 100% - (92%)^n 이다.
iii) 크리스탈 보물이 하나 이상 나올 확률이 50%, 75%, 90% 려면, 각각 9번, 17번, 28번 6+1 세트 보물 뽑기를 시행해야 한다.
*주의 사항
본문의 내용은 '수학수학'한, 'mathmath'한 내용입니다.
수학공포증이 있으신 분들은 세 줄 요약만 보고 끝내시길 바랍니다.
최고급 보물 상자에서의 크리스탈 보물 뽑기 확률
쿠키런 보물뽑기에서 크리스탈 보물이 나올 확률은 공식 홈페이지에서 공시하고 있습니다.
해당 확률 공시를 근거로, 최고급 보물상자에서 크리스탈 보물이 나올 확률은 아래와 같습니다.
S+A 급 전부 포함했을 때, 크리스탈 보물 확률 : 1.14%
S급 고정일 때, 크리스탈 보물 확률 (= S급 보물 51.7% 중에서 S급 크리스탈 보물이 뽑힐 조건부 확률): 1.86%
A급 고정일 때, 크리스탈 보물 확률 (= A급 보물 48.3% 중에서 A급 크리스탈 보물이 뽑힐 조건부 확률): 0.37%
6+1 세트 뽑기를 1번할 경우의 크리스탈 보물 뽑기 확률
6+1 세트 뽑기에서의 확률은 현재는 공시하고 있지 않습니다만, 약 2년 전에 공시된 바 있습니다.
과거의 확률 채택 방식이 현재까지 이어져 오고 있다면, 과거의 공시를 통해 현재의 확률 채택 방식을 추론할 수 있습니다.
과거의 확률 채택 방식은 이항분포 B(n=7, p=50%)와 유사한 분포를 보이고 있습니다.
현재 최고급 보물 상자에서 S급이 나올 확률이 51.7%이므로,
B(7, 51.7%)의 확률 질량함수(PMF)를 살짝 변형하면 아래의 표와 같이 비교 가능합니다.
거의 비슷한 값이 도출되었기 때문에, 아래의 계산 내용은 모두 "현재 예상 확률(Binomial 기반)"을 근거로 하여 작성하겠습니다.
S급 고정 상자가 X개, A급 고정 상자가 7-X개 라고 합시다.
S급 보장 상자 X개에서 나오는 크리스탈 보물의 개수를 C_A 개, A급 고정 상자 7-X개에서 나오는 크리스탈 보물의 개수를 C_B개 라고 한다면,
확률 변수 C_A와 C_B는 이산확률변수이며, 모두 이항분포를 따릅니다.
따라서, 각 확률변수의 조건부 확률질량함수(PMF)는 아래와 같습니다.
우리가 구하고자 하는 크리스탈 보물 개수는 S급 고정 상자에서 나오는 개수와 A급 고정 상자에서 나오는 개수를 더한 겁니다.
따라서 6+1 세트 뽑기를 1번 시행했을 경우의 크리스탈 보물 개수를 C개라고 한다면, C_A와 C_B의 합으로 표현할 수 있습니다.
자 이때, C의 확률질량함수(PMF)는 어떻게 구할까요?
C가 c개의 값을 가질 확률 P(C=c)를 구하려면, C_A와 C_B의 합이 c가 되는 모든 경우의 확률을 더해주면 됩니다.
통계학에서 이것을 합성곱(Convolution)이라고 합니다.
두 독립적인 확률변수 X와 Y의 합으로 정의된 Z=X+Y의 확률분포는 항상 합성곱(Convolution) 형태로 나타납니다.
C_A 와 C_B 는 서로 독립입니다. S급 보장 상자에서 크리스탈 보물 하나 뽑았다고 해서 나머지 크리스탈 보물 확률이 줄어드는 건 아니니까요.
서로 독립이니까 C의 확률질량함수(PMF)도 합성곱의 형태겠죠.
C_A는 0~X개까지, C_B는 0~(7-X)개까지의 값을 가질 수 있으므로, 전체 개수 c는 0부터 7까지 가능합니다.
따라서 C의 조건부 확률질량함수(PMF)는 아래와 같습니다.
마지막으로 앞서 가정한 S급 고정 상자가 X개에 대한 확률을 곱하면, C의 확률질량함수(PMF)는 아래와 같습니다.
6+1 세트 뽑기를 1번할 경우의 크리스탈 보물이 1개 이상 나올 확률
위에서 구한 확률질량함수를 토대로, 크리스탈 보물이 1개 이상 나올 확률을 구해보겠습니다.
크리스탈 보물이 1개 이상 나온다는 것은, 크리스탈 보물이 안 나오는 거는 아니라는 거죠?
"크탈 보물이 하나 이상 나올 확률"을 구하는 가장 쉬운 방법은, 여사건(반대 사건)인 "크탈 보물이 하나도 나오지 않을 확률"을 1에서 빼는 것입니다.
즉, 6+1 세트 뽑기 1번 시행 시, 크리스탈 보물이 하나 이상 뽑힐 확률은 약 8%입니다.
6+1 세트 뽑기를 n번 할 경우의 크리스탈 보물이 1개 이상 나올 확률
그럼 횟수를 n번으로 늘리면 어떨까요?
마찬가지로, "크탈 보물이 하나도 나오지 않을 확률"을 1에서 빼면 됩니다.
우리가 결국 원하는 것은...
...아니지.
'제가' 원하는 것은 '몇 개를 뽑아야 저 확률이 50%, 75%, 90% 이상이 될까?' 입니다.
최소의 n 값을 찾기 위해 로그를 사용하여 계산해보면 아래와 같은 값이 나옵니다.
결과적으로, 크탈 보물이 1개 이상 나올 확률이 50%, 75%, 90% 려면, 각각 9번, 17번, 28번 세트 뽑기를 해야 합니다.
마침 + 번외편
끝까지 읽으신 분들, 정말 대단하십니다. 수학 공포증이 없으시군요.
내용이나 수식 전개에 오류가 있다면 언제든 지적 댓글 환영합니다.
다른 주제로 직접 탐구해보고 싶으신 분들은 우리 AI의 힘을 빌려서라도 한 번 해보시길 바랍니다.
끝!